Question

【题目】设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．

Answer 1

【答案】
（1）解：记h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）

△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9），

当△＜0，即 ，D=（0，+∞），

当 ，

当a≤0，

（2）解：由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，

①当 ，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；

②当 ，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0，

h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0，

∴1D，a∈D，

∴f（x）在D内有一个极大值点a．

③当a≤0，则aD，

又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0．

∴f（x）在D内有无极值点

【解析】（1）根据方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；（2）由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．
【考点精析】掌握集合的交集运算和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．