Question

已知函数（e为自然对数的底数）

（1）求的最小值；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）的最小值为1；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）先对求导，得出函数的单调区间，即可求出函数的最小值为1；

（2）不等式恒成立，变形为，构造新函数；求得的最小值，

从而实数的取值范围是．

试题解析：（1）的导函数，令，解得；

令，解得.

从而在内单调递减，在内单调递增.

所以，当时，取得最小值1. 6分

（2）因为不等式的解集为，且，

所以对于任意，不等式恒成立.

由，得.

当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.

将变形为.

令，则的导函数，

令，解得；令，解得.

从而在内单调递减，在内单调递增.

所以，当时，取得最小值，

从而实数的取值范围是. 13分

考点：导函数的综合应用、函数与方程思想.