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四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,共有的取法数(  )
分析:由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法,减去不合题意的结果,4点共面的情况有三类,取出的4个点位于四面体的同一个面上;取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点;由中位线构成的平行四边形,用所有的结果减去不合题意的结果,即得所求.
解答:解:从10个点中任取4个点有C104种取法,其中4点共面的情况有三类.
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4C64种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),
它的4顶点共面,有3种,以上三类情况不合要求应减掉,
∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种,
故选A.
点评:本题考查分类计数原理,考查排列组合的实际应用,是一个排列组合同立体几何结合的题目,解题时注意做到不重不漏,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:高三数学教学与测试 题型:044

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