Question

求函数f(x)=log2

x

8

•log2(2x)，（1≤x≤8）的最大值和最小值及相应x的值．

Answer 1

分析：先把函数整理为f（x）=（log₂^x-3）•（log₂^x+1）再换元利用开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大来解题．

解答：解：∵f（x）=log₂ 

x

8

•log₂^（2x）=（log₂^x-3）•（log₂^x+1）
令 t=log₂^x，则t∈[0，3]，
所以原函数转化为求 y=t²-2t-3=（t-1）²-4在t∈[0，3]上的最值，
所以 当t=3，即x=8时，^y_max=0，
当t=1，即x=2时，^y_min=-4．

点评：本题考查了换元法和二次函数在闭区间上的最值问题．关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小．