Question

已知函数f(x)=

x4

4

+

b

3

x3-

2+a

2

x2+2ax在点x=1处取极值，且函数g(x)=

x4

4

+

b

3

x3-

a-1

2

x2-ax在区间（a-6，2a-3）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用f′（1）=0可得a，b的关系，并验证是否取得极值；进而由g′（x）≤0得出区间与区间（a-6，2a-3）的关系即可得出a的取值范围．

解答：解：f′（x）=x³+bx²-（2+a）x+2a，
由f′（1）=0，得1+b-（2+a）+2a=0，化为b=1-a．
∴f′（x）=x³+（1-a）x²-（2+a）x+2a=（x-1）（x+2）（x-a）．
若a=1，则x=1不是函数f（x）的极值点，故b=1-a，且a≠1．
g′（x）=x³+bx²-（a-1）x-a=x³+（1-a）x²-（a-1）x-a=（x-a）（x²+x+1）．
当x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，a）上单调递减．
∴区间（a-6，2a-3）⊆（-∞，a）．
∴a-6＜2a-3≤a，解得-3＜a≤3．
综上可知：a的取值范围是（-3，1）∪（1，3]

点评：熟练掌握函数在某一点取得极值的充分条件、利用导数研究函数单调性等是解题的关键．