Question

【题目】已知函数.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.

经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.

试题解析：（1），

∵在处取到极值，

∴，即，∴.

经检验，时，在处取到极小值.

（2），令，

①当时，，在上单调递减.

又∵，∴时，，不满足在上恒成立.

②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.

a.当，即时，在上恒成立，

∴，从而在上单调递增.

又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.

b.当，即时，存在，使时，，单调递减；

时，，单调递增，∴.

又∵，∴，故不满足题意.

③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，

，∴，在上单调递减.

又∵，∴时，，故不满足题意.

综上所述，.