Question

11．设函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后讨论a=1与a＞1两种情形，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间；
（2）讨论a=1与a＞1两种情形，根据（I）可知f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的极值．

解答 解：∵函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
∴f′（x）=6x[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，解得   x₁=0，x₂=a-1．
（1）当a=1时，f′（x）=6x²，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当a＞1时，f′（x）=6x[x-（a-1）]，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

从上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
在（0，a-1）上单调递减；在（a-1，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，
当a=1时，函数f（x）没有极值．
当a＞1时，函数f（x）在x=0处取得极大值，在45⁰处取得极小值1-（a-1）³．

点评 本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．