Question

2．已知函数$y=sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}}），x∈[{0，π}]$
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的所有定义域上的单调区间，即可分析出x∈[0，π]的单调区间．
（2）先求出f（0），f（$\frac{π}{3}$）．f（π）的值，由（1）利用函数的单调性即可求出值域．

解答 解：（1）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）得-$\frac{5π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+4kπ（k∈Z），
当k=0时，得-$\frac{5π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，[0，$\frac{π}{3}$]?[0，π]，且仅当k=0时符合题意，
∴函数y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），x∈[0，π]的单调递增区间是，[0，$\frac{π}{3}$]，
同理可得：由$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z）得$\frac{π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{7π}{3}$+4kπ（k∈Z），
当k=0时，得$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{7π}{3}$，[$\frac{π}{3}$，π]?[0，π]，且仅当k=0时符合题意，
∴函数y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），x∈[0，π]的单调递减区间是，[$\frac{π}{3}$，π]．
（2）∵f（0）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{1}{2}×$$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=1，f（π）=sin（$\frac{1}{2}×π+$$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴由（1）根据函数的单调性可得：y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴函数的值域是$[{\frac{1}{2}，1}]$．

点评 本题主要考查了复合三角函数的单调性的求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．