Question

7．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入$\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）$万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

分析 （1）设每件定价为t元，则（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；
（2）由题得当x＞25时：$ax≥25×8+\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）+（{50+2x}）$有解，由分离参数和基本不等式，可得最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）设每件定价为t元，
则（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，
整理得t²-65t+1000≤0?25≤t≤40，
∴要满足条件，每件定价最多为40元；                   
（2）由题得当x＞25时：$ax≥25×8+\frac{1}{6}（{{x^2}-600}）+（{50+2x}）$有解，
即：$a≥\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x+2，x＞25$有解．
又$\frac{150}{x}+\frac{1}{6}x≥2\sqrt{\frac{150}{x}•\frac{x}{6}}=10$，
当且仅当x=30＞25时取等号，
∴a≥12．
即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．

点评 本题考查二次不等式的解法和不等式有解的条件，主要考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．