Question

7．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$+b（2-lnx）在x=1处的切线的斜率为零．
（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数y=f（x）图象与直线y=2a有两个交点？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ），先求导，再根据导数的几何意义，由已知得f'（1）=0，代入即可求出b=a+1；
（Ⅱ）先求导，再分离参数，得到即a≤x在区间[2，3]上恒成立，求出最小值即可；
（Ⅲ）f（x）-2a=0，有两个根，构造函数g（x）=x-$\frac{a}{x}$+（a+1）lnx+2，求导，分类讨论函数的单调性，根据零点存在定理，即可判断．

解答 解：（I）∵$f'（x）=1+\frac{a}{x^2}-\frac{b}{x}$（x＞0），…（1分）
由已知得f'（1）=0，
∴b=a+1．…（2分）
（II）由（I）得$f'（x）=\frac{（x-a）（x-1）}{x^2}$．
要使函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，
即要使$f'（x）=\frac{（x-a）（x-1）}{x^2}≥0$在区间[2，3]上恒成立．…（4分）
即x-a≥0在区间[2，3]上恒成立，∴a≤x_min（x∈[2，3]），∴a≤2．…（6分）
（Ⅲ）由f（x）=2a得$x-\frac{a}{x}-（a+1）lnx+2=0$有两个实根
令$g（x）=x-\frac{a}{x}-（a+1）lnx+2$则$g'（x）=\frac{（x-a）（x-1）}{x^2}$，…（7分）
（1）当a≤0时，函数y=g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，g（x）_min=g（1）=3-a＞0
此时函数y=g（x）无零点，不合题意；…（8分）
（2）当a=1时，$g'（x）={\frac{（x-1）}{x^2}^2}≥0$，
∴函数y=g（x）在（0，+∞）是增函数，不合题意；…（9分）
（3）当0＜a＜1时，函数y=g（x）在（0，a），（1，+∞）上是增函数；在（a，1）上是减函数，
∵g（1）=3-a≠0
要使函数g（x）有两个零点则只需g（a）=0解得a=e不合题意；…（10分）
（4）当a＞1时，函数y=g（x）在（0，1），（a，+∞）上是增函数；在（1，a）上是减函数
要使函数g（x）有两个零点则只需g（a）=0或g（1）=0解得a=e或a=3
综上所述，a=e或a=3．…（12分）

点评 本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想及化归思想，属于难题．