Question

2．设函数f（x）=Acos（πx+φ）（其中A＞0，0＜φ＜π，x∈R）．当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得最小值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由f（x）最小值-2，且A＞0，可求A的值，由$f（\frac{1}{3}）=-2$，结合范围0＜φ＜π可解得φ的值，从而可求f（x）的解析式．
（2）由$-π+2kπ≤πx+\frac{2π}{3}≤2kπ$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由f（x）最小值-2，且A＞0，所以A=2．…（2分）
因为$f（\frac{1}{3}）=-2$，所以$cos（\frac{π}{3}+φ）=-1$，…（4分）
由0＜φ＜π可得$\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}+φ＜\frac{4π}{3}$，所以$\frac{π}{3}+φ=π$，所以$φ=\frac{2π}{3}$．  …（6分）
故f（x）的解析式为$f（x）=2cos（πx+\frac{2π}{3}）$．          …（7分）
（2）由$f（x）=cos（πx+\frac{2π}{3}）$，
由余弦函数的图象和性质可得：$-π+2kπ≤πx+\frac{2π}{3}≤2kπ$，k∈Z，…（9分）
解得：$-\frac{5}{3}+2k≤x≤-\frac{2}{3}+2k$，k∈Z，…（11分）
∴函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{5}{3}+2k，-\frac{2}{3}+2k}]，k∈Z$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．