Question

12．设函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$．求证：f（x）是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，得f（-x）+f（x）=0对于任意实数都成立．即可得出k．
（2）由（1）可知：f（x）=a^x-a^-x，利用f（1）=a-a^-1=$\frac{3}{2}$．又a＞0，解得a=2，可得f（x）=2^x-2^-x．任取实数x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=a^-x+ka^x+a^x+ka^-x=（k+1）（a^x+a^-x）=0对于任意实数都成立．
∴k=-1．
（2）由（1）可知：f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）=a-a^-1=$\frac{3}{2}$，又a＞0，解得a=2．
∴f（x）=2^x-2^-x．
任取实数x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{-{x}_{1}}$-（2${\;}^{{x}_{2}}$-2${\;}^{-{x}_{2}}$）
=（2${\;}^{{x}_{1}}$$-{2}^{{x}_{2}}$）（1$+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵x₁＜x₂，∴2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，又2${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）是单调增函数；

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性、二次函数的单调性，属于中档题