Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）在（1）的条件下，设直线x-y-1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，由求出当m＜5时，曲线C表示圆．
（2）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，由直线x-y-1=0代入曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0，得2x²-8x+5+m=0，由此能求出存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．

解答： 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴当m＜5时，曲线C表示圆；
（2）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
由直线x-y-1=0代入曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0，
得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，
又由（1）知m＜5，故m＜3；
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

m+5

2

∴y₁y₂=

m-1

2

∴x₁x₂+y₁y₂=

m+5

2

+

m-1

2

=0，
∴m=-2＜3，
故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．

点评：本题考查方程表示圆时实数m的取值范围的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．