Question

已知f（x）=x

1

-n2+2n+3

（n∈Z）的图象在[0，+∞）上单调递增，解不等式f（x²-x）＞f（x+3）

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据题意，求出n的值，讨论n的取值对应的函数f（x）的单调性，求出不等式f（x²-x）＞f（x+3）的解集来．

解答： 解：根据题意，

1

-n2+2n+3

＞0，
即-n²+2n+3＞0，
解得-1＜n＜3；
又∵n∈Z，
∴n=0，1，2；
当n=0时，f(x)=x

1

3

，
当n=1时，f(x)=x

1

4

，
当n=2时，f(x)=x

1

3

；
∴当n=0或2时，f(x)=x

1

3

，函数在R上单调递增，
∵f（x²-x）＞f（x+3），
∴x²-x＞x+3，
解得x＜-1或x＞3，
∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）；
当n=1时，f(x)=x

1

4

，函数在[0，+∞）上单调递增，
∵f（x²-x）＞f（x+3），
∴

x2-x≥0 x+3≥0 x2-x＞x+3

，
解得-3≤x＜-1或x＞3，
∴原不等式的解集为[-3，-1）∪（3，+∞）．

点评：本题考查了幂函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，解题时容易忽略第一个条件，直接去研究如何解不等式，题目中给出的所有条件都是对题目的诠释，是综合题．