Question

7．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是同一平面内的两个向量，其中$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2，\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\sqrt{3}$．
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ； 
（2）求|$\overrightarrow a$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow b$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量夹角余弦的计算公式便可得到cos$θ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由θ的范围即可求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）根据向量长度的求法：$|\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow{b}）^{2}}$，由已知条件进行数量积的运算即可．

解答 解：（1）$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|}}=\frac{{-\sqrt{3}}}{2}$；
∵θ∈[0，π]；
∴$θ=\frac{5π}{6}$；
（2）$|{\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{{（\overrightarrow a-\sqrt{3}\overrightarrow b）}^2}}$=${\sqrt{\overrightarrow{a^2}-2\sqrt{3}\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{（{\sqrt{3}\overrightarrow b}）}^2}}^{\;}}^{\;}$=$\sqrt{1+6+12}$=$\sqrt{19}$．

点评 考查向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及求向量长度的方法：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，数量积的运算．