Question

16．已知△ABC的外接圆圆心为O，∠A=120°，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y的最小值为2．

Answer 1

分析 先设$|\overrightarrow{AB}|=c$，$|\overrightarrow{AC}|=b$，根据条件可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}bc$，取AB中点D，AC中点E，并连接OD，OE，根据O为外接圆的圆心，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，这样便可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{b}^{2}$．从而由$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$便有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx-\frac{1}{2}by}\\{\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}cx+by}\end{array}\right.$，可解出x，y，从而得到x+y=$\frac{b}{3c}+\frac{c}{3b}+\frac{4}{3}$，到这由基本不等式即可得出x+y的最小值．

解答 解：如图，
设$|\overrightarrow{AB}|=c$，$|\overrightarrow{AC}|=b$则：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}bc$；
分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAO$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{1}{2}{c}^{2}$；
同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=\frac{1}{2}{b}^{2}$；
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{1}{2}{c}^{2}=x{c}^{2}-\frac{1}{2}bcy$；
∴$\frac{1}{2}c=cx-\frac{1}{2}by$   ①；
同理，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}$；
∴$\frac{1}{2}{b}^{2}=-\frac{1}{2}bcx+{b}^{2}y$；
∴$\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}cx+by$   ②；
①②联立解出x，y：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{b}{3c}+\frac{2}{3}}\\{y=\frac{c}{3b}+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{b}{3c}+\frac{c}{3b}+\frac{4}{3}≥2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{4}{3}=2$；
∴x+y的最小值为2．
故答案为：2．

点评 考查数量积的计算公式，解二元一次方程组，三角形外接圆圆心的定义，余弦函数的定义，以及基本不等式用于求最小值．