Question

6．已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若$a≤-\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}+m$的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=0代入，求出函数f（x）的导数，求出斜率，从而求出切线方程；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（Ⅲ）将a=-1代入，结合函数的单调性求出函数的极值，通过讨论x的范围，得到函数g（x）的单调性，进而求出g（x）的极值，从而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x-1）e^x，f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e．
又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x-1），
即．ex-y-4=0
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=[ax²+（2a+1）x]e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
①若a=-$\frac{1}{2}$，f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²e^x≤0，∴f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞），
②若a＜-$\frac{1}{2}$，当x＜-$\frac{2a+1}{a}$或x＞0时，f′（x）＜0；
当-$\frac{2a+1}{a}$＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$]，[0，+∞）；单调递增区间为[-$\frac{2a+1}{a}$，0]．
（Ⅲ）当a=-1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（-x²+x-1）e^x在（-∞，-1）上单调递减，
在[-1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-$\frac{3}{e}$，在x=0处取得极大值f（0）=-1，
由$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}+m$，得g′（x）=2x²+2x．
当x＜-1或x＞0时，g′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故g（x）在x=-1处取得极大值$g（{-1}）=\frac{1}{3}+m$，
在x=0处取得极小值g（0）=m，
∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，
∴g（-1）＜f（-1）或g（0）＞f（0），即.$m＜-\frac{3}{e}-\frac{1}{3}或m＞-1$．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．