Question

1．已知a，b，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）求证：$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$≥$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$，并指出等号成立的条件；
（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$（x∈（0，$\frac{1}{2}$））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$-$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$的符号，得到大小关系；
（Ⅱ）对f（x）变形，利用基本你打算求之．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$-$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$=$\frac{（ay-bx）^{2}}{xy（x+y）}$…（3分）
∵a，b，x，y∈（0，+∞），
∴xy（x+y）＞0，（ay-bx）²≥0
所以$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$≥$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$，…（5分）
等号当且仅当ay=bx时成立．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}+\frac{9}{1-2x}≥\frac{（2+3）^{2}}{2x+1-2x}$=25，…（10分）
等号当且仅当2（1-2x）=3×2x即x=$\frac{1}{5}$∈（0，$\frac{1}{2}$）时成立，…（11分）
所以，x=$\frac{1}{5}$时，f（x）的最小值为25．…（12分）

点评 本题考查了比较法证明不等式、利用基本不等式求最值．