Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（a_n-n）（3n-1），求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊），可得当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（2）b_n=（a_n-n）（3n-1）=（3n-1）•2^n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$（n∈N₊），
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$-$[{2}^{n-1}+\frac{（n-1）^{2}+（n-1）-2}{2}]$=2^n-1+n．
当n=1时，上式成立．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1+n．
（2）b_n=（a_n-n）（3n-1）=（3n-1）•2^n-1，
∴{b_n}的前n项和T_n=2×1+5×2+8×2²+…+（3n-1）×2^n-1，
2T_n=2×2+5×2²+…+（3n-4）×2^n-1+（3n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=2+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-1）×2ⁿ=$3×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1-（3n-1）×2ⁿ=（4-3n）×2ⁿ-4，
∴T_n=（3n-4）×2ⁿ+4．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．