Question

3．如图，已知△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD=2DB，DC和OA相交于点E．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{DC}$．
（2）若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出A为线段BC的中点，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义即可得到$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{2\overrightarrow{a}}-\frac{5}{3}\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{OE}$可表示成：$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+μ\overrightarrow{DC}=（2+2μ）\overrightarrow{a}$$-（1+\frac{5}{3}μ）\overrightarrow{b}$，而$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{a}$，从而根据平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$，解出λ即可．

解答 解：（1）根据条件A为线段BC中点；
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OB}+2（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$=$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$；
$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{DC}$共线；
∴存在实数μ，使$\overrightarrow{CE}=μ\overrightarrow{DC}=2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow{b}$=$（2+2μ）\overrightarrow{a}-（1+\frac{5}{3}μ）\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{a}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{5}$．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及共线向量、平面向量基本定理．