Question

4．如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10$\sqrt{3}$米至D处，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的值为15°．

Answer 1

分析 由题意及仰角的定义，由题意可得AC=BC=30，AD=CD=10$\sqrt{3}$，由余弦定理可得cos4θ，进而可得sin4θ，在△ADE中，AE=ADsin4θ，代值计算可得利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出θ=15°．

解答 解：由题意可得AC=BC=30，AD=CD=10$\sqrt{3}$，
在△ACD中，由余弦定理可得cos（π-4θ）
=$\frac{C{D}^{2}+A{D}^{2}-A{C}^{2}}{2CD•AD}$=$\frac{300+300-900}{2×10\sqrt{3}×10\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos4θ=$\frac{1}{2}$，sin4θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴4θ=60°，
∴θ=15°；
故答案为：15°．

点评 本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和等腰三角形的知识，属中档题．