Question

19．设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）-h（x）
则下面说法正确的有：①④⑤
①存在相异的实数x₁，x₂使f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在x=m处取得极小值；
③f（x）在x=m处取得极大值；
④不等式$|{f（x）}|＜\frac{1}{2015}$的解集非空；
⑤直线 x=m一定为函数f（x）图象的对称轴．

Answer 1

分析 设g（x）=ax²+bx+c，（a≠0）然后求出在点（m，g（m））的切线方程为y=h（x），从而得到f（x）的解析式，根据二次函数的性质可得结论．

解答 解：设g（x）=ax²+bx+c，（a≠0）则g（x）′=2ax+b，
∴g（m）′=2am+b则在点（m，g（m））的切线方程为 h（x）-g（m）=（2am+b）（x-m），
即 h（x）=（2am+b）x-am²+c，
∴f（x）=ax²+bx+c-（2am+b）x+am²-c=ax²-2amx+am²=a（x-m）²，
∴f（x）是二次函数，关于x=m对称，故⑤正确；
当x₁，x₂关于x=m对称时，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正确；
当a＜0时，在x=m处取得极大值，故②不正确；
当a＞0时，在x=m处取得极小值，故③不正确；
x=m时f（x）=0，满足|f（x）|＜$|f（x）|＜\frac{1}{2015}$，故④正确；
故答案为：①④⑤

点评 本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想．