Question

14．已知函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$
（1）用“五点法”作出函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$的简图；
（2）求出函数的最大值及取得最大值时的x的值；
（3）求出函数在[0，2π]上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，2π]，求出x+$\frac{π}{4}$的取值范围[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，将x+$\frac{π}{4}$看作一个整体，取关键点和端点，从而可用五点法作出x∈[0，2π]的图象．
（2）利用函数的图象性质即可得解．
（3）由函数的图象即可求出函数在[0，2π]上的单调区间．

解答 解：（1）列表如下：

x	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{5π}{4}$	$\frac{7π}{4}$	2π
x+$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
2sin（x+$\frac{π}{4}$）	$\sqrt{2}$	2	0	-2	0	$\sqrt{2}$

描点、连线，得图．如图（1）

       图1
（2）由图可知：当x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z时，函数的最大值为2．
（3）由图可知：函数在[0，2π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{5π}{4}$，2π]，
函数在[0，2π]上的单调递减区间为[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．

点评 本题考查三角函数作图，要注意自变量的取值范围以及关键点和端点，考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．