Question

3．数列$\frac{1}{1×4}，\frac{1}{4×7}，\frac{1}{7×10}，…，\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}，…$的前10项和为（　　）

• A． $\frac{27}{28}$
• B． $\frac{9}{28}$
• C． $\frac{30}{31}$
• D． $\frac{10}{31}$

Answer 1

分析 设a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，利用裂项法进行求和即可．

解答 解：设a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，
则a_n=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
则数列的前n项和S_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$），
则S₁₀=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{30+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{31}$）=$\frac{1}{3}×\frac{30}{31}$=$\frac{10}{31}$，
故选：D

点评 本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．