Question

9．已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（3，9）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由极值的定义可得x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的两根．运用韦达定理，可得a，b，c的关系，结合条件f（1）=-1，可得方程，解方程可得a，b，c的值，进而得到函数的解析式，求出单调区间，可得极值点；
（2）设出切点，求得切线的斜率和切线方程，代入点（3，9），解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵x=±1是函数的极值点，
∴x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的两根．
由根与系数的关系知$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-\frac{2b}{3a}}\\{-1×1=\frac{c}{3a}}\end{array}\right.$，
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．
解得a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=-$\frac{3}{2}$．
即有f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{3}{2}$ x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1）．
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴x=-1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．
（2）曲线方程为f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，点A（3，9）在曲线上．
设切点为（m，n），则切线的斜率为k=$\frac{3}{2}$（m²-1），
切线的方程为y-n=$\frac{3}{2}$（m²-1）（x-m），
代入（3，9）和n=$\frac{1}{2}$m³-$\frac{3}{2}$m，可得
9-$\frac{1}{2}$m³+$\frac{3}{2}$m=$\frac{3}{2}$（m²-1）（3-m），
化简可得2m³-9m²+27=0，
解得m=3或m=-$\frac{3}{2}$，
则切线方程为y-9=12（x-3）或y-9=$\frac{15}{8}$（x-3），
即为12x-y-27=0或15x-8y+27=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，属于中档题和易错题．