Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，1），$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}cosx，\frac{1}{2}）$，函数$f（x）=（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）?\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若a，b，c分别是△ΑΒC的三边，a=2$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{2}$，且f（A）是函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}]$上的最大值，求角A、角C．

Answer 1

分析 （1）写出$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐标，然后进行数量积的坐标运算，利用二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式化简f（x）即可得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，由求周期的公式即可得到该函数的周期；
（2）由x$∈（0，\frac{π}{2}]$求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，这样即可求得sin（2x$-\frac{π}{6}$）的最大值，从而得到f（x）的最大值，也就得出A的值，然后由正弦定理即可求出角C．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（sinx+\sqrt{3}cosx，\frac{3}{2}）$；
f（x）=$（sinx+\sqrt{3}cosx）sinx+\frac{3}{2}$=$si{n}^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）+2$；
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2；
∴函数f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）∵$0＜x≤\frac{π}{2}$；
∴$-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$；
∴当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{3}$时，f（x）_max=3；
∴$A=\frac{π}{3}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得：
$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{sinC}$；
∴$sinC=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$C=\frac{π}{4}$．

点评 考查向量加法、数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及三角函数的周期公式，正弦函数的最大值，正弦定理．