Question

8．若幂函数y=x^k经过点$（{\frac{1}{3}，\frac{1}{9}}）$，则函数f（x）=cos2x+ksinx的最大值与最小值的和为-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得k的值，化简函数的解析式为f（x）=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用二次函数的性质求得函数的最大值与最小值，可得最大值与最小值的和．

解答 解：由于幂函数y=x^k经过点$（{\frac{1}{3}，\frac{1}{9}}）$，则${（\frac{1}{3}）}^{k}$=$\frac{1}{9}$，∴k=2．
函数f（x）=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$；当sinx=-1时，f（x）取得最小值为-3，
故f（x）的最大值与最小值的和为$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{3}{2}$，
故答案为：$-\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．