Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，可得当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（II）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n．
当n=1时，上式成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（II）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．