Question

11．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数
（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x²+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；
（Ⅱ）若f（1）=$\frac{8}{3}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出k的值，根据f（1）＞0求出a的值，根据函数的单调性将不等式进行转化即可，
（Ⅱ）由f（1）=$\frac{8}{3}$，求出a的值，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，∴1-（k-1）=0，∴k=2．
∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＞0，∴a-$\frac{1}{a}$＞0，又 a＞0，∴a＞1．
由于y=a^x单调递增，y=a^-x单调递减，故f（x）在R上单调递增．
不等式化为：f（x²+tx）＞f（-2x-1）．
∴x²+tx＞-2x-1，即  x²+（t+2）x+1＞0 恒成立，
∴△=（t+2）²-4＜0，解得-4＜t＜0．
（Ⅱ）∵f（1）=$\frac{8}{3}$，$a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3}$，即3a²-8a-3=0，
∴a=3，或 a=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）=（3^x-3^-x）²-2m（3^x-3^-x）+2．
令t=f（x）=3^x-3^-x，
由（1）可知k=2，
故f（x）=3^x-3^-x，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{8}{3}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（$t≥\frac{8}{3}$），
若$m≥\frac{8}{3}$，当t=m时，$h{（t）_{min}}=h（m）=2-{m^2}=-2$，
∴m=2（舍去）
若$m＜\frac{8}{3}$，当t=$\frac{8}{3}$时，$h{（t）_{min}}=h（\frac{8}{3}）={（\frac{8}{3}）^2}-\frac{16}{3}m+2=-2$，
解得m=$\frac{25}{12}$＜$\frac{8}{3}$，
综上可知m=$\frac{25}{12}$．

点评 本题主要考查指数函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性求出参数，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．