Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=a（a∈N^*）．a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0（p≠0，p≠-1）n∈N^*）．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）对每一个正整数k，若将a_k+1，a_k+2，a_k+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为d_k．求p的值及相应的数列{d_k}．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系利用作差法结合等比数列的定义即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出a_k+1，a_k+2，a_k+3的表达式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）因为a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，所以n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，两式相减，
得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{p+1}{p}（n≥2）$，故数列{a_n}从第二项起是公比是$\frac{p+1}{p}$的等比数列．
又当n=1时，a₁-pa₂=0，解得${a_2}=\frac{a}{p}$，从而${a_n}=\left\{\begin{array}{l}a\;（n=1）\\ \frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{n-2}}\;（n≥2）\end{array}\right.$．
（2）由（1）得${a_{k+1}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{k-1}}$，${a_{k+2}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^k}$，${a_{k+3}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{k+1}}$．
若a_k+1为等差中项，则2a_k+1=a_k+2+a_k+3，即$\frac{p+1}{p}=1$或$\frac{p+1}{p}=-2$，
解得$p=-\frac{1}{3}$，此时${a_{k+1}}=-3a{（-2）^{k-1}}$，${a_{k+2}}=-3a{（-2）^k}$，
注意到（-2）^k-1与（-2）^k异号，所以${d_k}=|{a_{k+1}}-{a_{k+2}}|=9a•{2^{k-1}}$；
若a_k+2为等差中项，则2a_k+2=a_k+1+a_k+3，即$\frac{p+1}{p}=1$，此时无解；
若a_k+3为等差中项，则2a_k+3=a_k+1+a_k+2，即$\frac{p+1}{p}=1$或$\frac{p+1}{p}=-\frac{1}{2}$，
解得$p=-\frac{2}{3}$，此时${a_{k+1}}=-\frac{3a}{2}{（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$，${a_{k+3}}=-\frac{3a}{2}{（-\frac{1}{2}）^{k+1}}$，
注意到${（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$与${（-\frac{1}{2}）^{k+1}}$同号，所以${d_k}=|{a_{k+1}}-{a_{k+3}}|=\frac{9a}{8}•{（\frac{1}{2}）^{k-1}}$．
综上所述，$p=-\frac{1}{3}$，${d_k}=9a•{2^{k-1}}$或$p=-\frac{2}{3}$，${d_k}=\frac{9a}{8}•{（\frac{1}{2}）^{k-1}}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用等差数列和等比数列的定义和通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．