Question

3．已知函数$f（x）=\frac{2x}{x+1}$，函数g（x）=ax-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{2}，2]$．

Answer 1

分析 根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x₁）=g（x₂）成立，推断出A∩B≠∅，先看当二者的交集A∩B=∅时求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．

解答 解：$f（x）=\frac{2x}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-2}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
则函数f（x）在[0，1]为增函数，
则f（0）≤f（x）≤f（1），
即0≤f（x）≤1，即f（x）的值域为A=[0，1]
g（x）=ax-2a+2（a＞0），在在[0，1]为增函数，
则g（0）≤g（x）≤g（1），
则2-2a≤g（x）≤2-a，即g（x）的值域为B=[2-2a，2-a]
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则A∩B≠∅，
若A∩B=∅，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-2a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-a＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞2}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞2，
若A∩B≠∅，
则$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故答案为：$[\frac{1}{2}，2]$；

点评 本题主要考查了函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．