【题目】已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)若函数有两个极值点
,且
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析
【解析】分析:(1)求出函数的定义域为及函数的导数,令
,分
和
分类讨论,即可得到函数的单调区间;
(2)求出函数的两个极值点
,转化为
,即证明
,转化为证明
成立,设函数
,利用函数
的单调性证明即可.
详解:(Ⅰ)由,得:
设函数
当时,即
时,
,
,
所以函数在
上单调递增.
当时,即
时,
令得
,
,
当时,即
时,在
上,
,
;
在上,
,
.
所以函数在
,
上单调递增,在
上单调递减.
当时,即
时,在
上,
,
;
在上,
,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
综上,当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
,
上单调递增,
在上单调递减;
当时,函数
在
上单调递减,
在上单调递增.
(Ⅱ)证明:∵函数有两个极值点
,且
,
∴有两个不同的正根
,
∴ ∴
.
欲证明,即证明
,
∵,
∴证明成立,等价于证明
成立.
∵,∴
.
设函数,
求导可得.
易知在
上恒成立,
即在
上单调递增,
∴,即
在
上恒成立,
∴函数有两个极值点
,且
时,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】过抛物线:
的焦点
做直线
交抛物线于
,
两点,
的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过,
分别做抛物线
的切线,两切线交于点
,且直线
,
分别与
轴交于点
,
,记
和
的面积分别为
和
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本,且将纤维长度超过315
的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:
(1)根据以上茎叶图,对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论(不必计算);
(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根,求其中恰有3根一级棉花的概率;
(3)用样本估计总体,将样本频率视为概率,现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根,求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列推理不属于合情推理的是( )
A. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电.
B. 半径为的圆面积
,则单位圆面积为
.
C. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质.
D. 猜想数列2,4,8,…的通项公式为.
.
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