Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x－1)²＋(y－2)²＝5（3）

(1)解：由点M在准线上，得＝2，故＝2，∴c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y²＝1.
(2)解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)²＋＝＋1，其圆心为，半径r＝，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝5.
(3)证明：设N(x₀，y₀)，则＝(x₀－1，y₀)，＝(2，t)，＝(x₀－2，y₀－t)，＝(x₀，y₀)．∵⊥，∴2(x₀－1)＋ty₀＝0，∴2x₀＋ty₀＝2.
∵⊥，∴x₀(x₀－2)＋y₀(y₀－t)＝0，∴＋＝2x₀＋ty₀＝2，∴||＝＝为定值．