Question

（已知抛物线（）的准线与轴交于点．
（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（2）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）参考解析；（2）存在，或

试题分析：（1）由抛物线（）的准线与轴交于点，可求得的值，即可得到抛物线方程与焦点坐标
（2）由于过焦点的直线可能垂直于x轴，依题意不可能垂直于y轴，所以假设直线.再联立抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式即可得到AB的弦长.由点到直线的距离公式即可得到点M到直线AB的距离.再由即可求出结论.
解法一：（1）由已知得：，从而抛物线方程为，
焦点坐标为．                                               4分
（2）由题意，设，并与联立， 
得到方程：，                            6分
设，，则，．       7分
 
∵，∴ ，   9分
又，∴               10分
解得，                                     11分
故直线的方程为：．即或．       12分
解法二：（1）（同解法一）
（2）当轴时，，，
不符合题意．                                       5分
故设（），并与联立，
得到方程：，                          6分
设，，则，．              7分
，
点到直线的距离为，             9分
∴，      10分
解得，                                        11分
故直线的方程为：．即或．           12分