Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）x²＝2y   （2）存在，M(，1)

(1)依题意知F(0，)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，
因为抛物线C的准线方程为y＝－，
所以＝，即p＝1.
因此抛物线C的方程为x²＝2y.
(2)假设存在点M(x₀，)(x₀>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x₀＝()′|x＝x₀＝x₀，
所以直线MQ的方程为y－＝x₀(x－x₀)．
令y＝得x_Q＝＋，
所以Q(＋，)．
又|QM|＝|OQ|，
故(－)²＋(－)²＝(＋)²＋，
因此(－)²＝.
又x₀>0，所以x₀＝，此时M(，1)．
故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.