Question

已知椭圆的离心率为,短轴端点分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若,是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴交于点，判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为；（2）点不在以线段为直径的圆上．

试题分析：（1）求椭圆的标准方程，已知椭圆的离心率为,短轴端点分别为，可设椭圆方程为，由，可得，从而得椭圆的标准方程；（2）由于,是椭圆上关于轴对称的两个不同点，可设则，若点在以线段为直径的圆上，则，即，即，因此可写出直线的方程为，令，得，写出向量的坐标，看是否等于０，即可判断出．
（1）由已知可设椭圆的方程为：             1分
由，可得，                              3分
解得,                           4分
所以椭圆的标准方程为.                           5分
（2）法一：设则                              6分
因为，
所以直线的方程为，                   7分
令，得，所以.                         8分
所以                          9分
所以，                     10分
又因为，代入得                11分
因为，所以.                12分
所以，                              13分
所以点不在以线段为直径的圆上.                    14分
法二：设直线的方程为，则.          6分
由化简得到，
所以，所以，                               8分
所以，
所以，所以                               9分
所以                                     10分
所以，                                  12分
所以，                                                               13分
所以点不在以线段为直径的圆上.                                      14分