Question

（2007•河东区一模）已知：A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一条弦，向量

0A

+

OB

 交AB于点M，且向量

OM

=（2，1）．以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于点N（4，-1）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e₁；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为e₂，若e₁+e₂=f（a），求 f（a） 的解析式，并确定它的定义域．

Answer 1

分析：（I）由向量

0A

+

OB

 与AB相交于点M，可知：AB的中点是M（2，1）．利用“点差法”及其k_AB=k_MN，a²=b²+c²即可得出椭圆离心率；
（II）设椭圆的右准线为 l，过点N作 NN′⊥l 于N′，则由双曲线定义及题意知：e₂=

|MN|

|MN′|

，即可得出e₁+e₂=f（a）．再由题设条件，直线AB的方程为：y=-x+3，代入椭圆方程可得△＞0，进而得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一条弦，向量

0A

+

OB

 与AB相交于点M，可知：AB的中点是M，
由向量

OM

=（2，1），知M（2，1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
且AB在椭圆上，则

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
两式相减，得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

2b2

a2

=kMN=

-1-1

4-2

=-1，
∴a²=2b²，
又a²=b²+c²，∴b²=c²，
∴椭圆的离心率e₁=

2

2

．
（Ⅱ）设椭圆的右准线为 l，过点N作 NN′⊥l 于N′，
则由双曲线定义及题意知：
e₂=

|MN|

|MN′|

=

(2-4)2+22

a2 c -4

=

2 2

a2 c -4

=

2

a-2 2

；
∴e₁+e₂=f（a）=

2

2

+

2

a-2 2

=

2 a

2a-4 2

，
由题设条件，直线AB的方程为：y=-x+3，
代入椭圆方程并消去y，得：3x²-12x+18-a²=0，
由△=12²-12（18-a²）＞0，得a²＞6，∴a＞

6

，
又e₂=

2

a-2 2

，∴a≠2

2

，
又由e₂＞1，得2

2

＜a＜2+2

2

，
∴f（a）的定义域为：a∈（2

2

，2+2

2

）．

点评：熟练掌握椭圆与双曲线的定义、离心率计算公式、“点差法”、向量运算及其中点表示、斜率计算公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0等是解题的关键．