Question

设函数f（x）=-

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x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值；
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据导数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间进而求出极值点．
（2）将（1）中所求的导函数f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等关系式，再由函数f'（x）的单调性求出最值可得解．

解答：解：f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a由表


可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数，当x∈（3a，+∞）时．函数f（x）也为减函数；
当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
当x=a时，f（x）的极小值为-

4

3

a3+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．
（2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上为减函数．
∴[f'（x）]_max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]_min=f'（a+2）=4a-4．
于是，问题转化为求不等式组

2a-1≤a 4a-4≥-a

的解．解得

4

5

≤a≤1．又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．