Question

【题目】规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

(1) 如图，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向 C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；

(2)如图，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，－4) 处运动?

(3)若 A 的位置为 (0，a) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4， 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7，-5)，求 a 的最小值（只需要写出结果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能；（3）.

【解析】

（1）求出直线的方程，设出球心的坐标，利用球心在直线上以及列方程组，可求得的值.，由此求得母球运动的直线方程.（2）计算求得为锐角，同理，计算点到线段的距离，判断出不能.（3）要使最小，临界条件为球从球的左上方处撞击球后，球从球的右上方处撞击球.列方程求得的坐标，过作倾斜角为的直线，与轴相交于，由此求得的最小值.

（1）

点B（4,0）与点C（8，－4）所石室的直线方程为：x＋y－4＝0，

依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，且在第一象限，

此时｜AB｜＝2，设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，

则有：，解得：，，

即：A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（，），

所以，母球A运动的直线方程为：

（2）记，因为，所以，故为锐角，同理可知也为锐角.故在直线上的投影在线段上，该点到的距离小于，故球经过该点之前就会与球碰撞，故不可能让母球击打目标球后，使目标球向处运动.

(3)的最小值为.要使得最小，临界条件为球从球的左上方处撞击球后，球从球的右上方处撞击球.如下图所示，设是球的所有路径中最远离的那条路径上离球最近的点，则有，联立，解得，所有直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，易得.过作倾斜角为的直线，交轴于点，易得，就是一个符合题意的初始位置.若，则球会在达到之前就与球碰撞，不合题意.因此的最小值为.