Question

17．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“合一曲线”，已知F₁，F₂是一对“合一曲线”的焦点，P是他们在第一象限的交点，当|PF₁|=10，|PF₂|=8时，这一对“合一曲线”中椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆及双曲线的定义求得椭圆与双曲线的长半轴和实半轴长，由离心率互为倒数求得c，则答案可求．

解答 解：由题意可知，椭圆中，2a₁=10+8=18，${e}_{1}=\frac{c}{9}$，
双曲线中，2a₂=10-8=2，${e}_{2}=\frac{c}{1}$，
∵e₁•e₂=1，∴$\frac{{c}^{2}}{9}=1$，c=3．
则${e}_{1}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的定义，考查了椭圆与双曲线的几何性质，是基础题．