Question

7．若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式中的常数项为24．

Answer 1

分析 由球的最大截面面积求出a值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．

解答 解：由题意可知πa²=4π，即a=2．
∴（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴ =（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴ ，
由${T}_{r+1}={C}_{4}^{r}（2\sqrt{x}）^{4-r}（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}{2}^{4-r}{C}_{4}^{r}{x}^{2-r}$．
令2-r=0，得r=2．
∴二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式中的常数项为$（-1）^{2}×{2}^{2}×{C}_{4}^{2}=24$．
故答案为：24．

点评 本题考查圆的面积公式，考查了二项式系数的性质，是基础题．