Question

16．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$是参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{14}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据极坐标和普通方程之间的关系即可写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）根据直线参数方程以及两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得：ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4，
所以曲线C的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosϕ}\\{y=2sinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ为参数），
（Ⅱ）将直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入圆的方程（x-2）²+y²=4，
化简得${t^2}+\sqrt{2}（a-1）t+{a^2}-3=0$，
由韦达定理${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{2}$（1-a），t₁t₂=a²-3．
由直线参数方程的几何意义知$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{14}$
代入韦达定理得$\sqrt{-2{a^2}-4a+14}=\sqrt{14}$，
解得a=0或者a=-2
（若用直角坐标同等给分）

点评 本题主要考查极坐标方程，参数方程和普通方程之间的应用，利用参数方程和极坐标与普通方程之间的关系是解决本题的关键．