Question

11．已知单位向量$\overrightarrow i，\overrightarrow j，\overrightarrow k$两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠$\frac{π}{2}$），若空间向量$\overrightarrow a$满足$\overrightarrow a=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k（x，y，z∈R）$，则有序实数组（x，y，z）称为向量$\overrightarrow a$在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作$\overrightarrow a={（x，y，z）_θ}$有下列命题：
①已知$\overrightarrow a={（1，3，-2）_θ}，\overrightarrow b={（4，0，2）_θ}$，则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0；
②已知$\overrightarrow a={（x，y，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow b={（0，0，z）_{_{\frac{π}{3}}}}$其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角取得最小值；
③已知$\overrightarrow a={（{x_1}，{y_1}，{z_1}）_θ}，\overrightarrow b={（{x_2}，{y_2}，{z_2}）_θ}，则\overrightarrow a+\overrightarrow b={（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}，{z_1}+{z_2}）_θ}$；
④已知$\overrightarrow{OA}={（1，0，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow{OB}={（0，1，0）_{\frac{π}{3}}}，\overrightarrow{OC}={（0，0，1）_{\frac{π}{3}}}$，则三棱锥O-ABC的表面积S=$\sqrt{2}$，其中真命题有②③（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理及数量积运算即可求解．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$=（2，0，-1）$\overrightarrow{o}$，$\overrightarrow{b}$=（1，0，2）$\overrightarrow{o}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{i}$-$\overrightarrow{k}$）•（$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{k}$）=2+3$\overrightarrow{i}$•$\overrightarrow{k}$-2=3cosθ，
∵0＜θ＜π，且$θ≠\frac{π}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≠0；
②$\overrightarrow{a}=（x，y，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow{b}=（0，0，z）_{\frac{π}{3}}$，其中xyz≠0，向量$\overrightarrow{a}$的夹角取得最小值，两向量同向
存在实数λ＞0，满足$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$，根据仿射坐标的定义，易知②为正确；
③已知$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁，z₁）_θ，$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂，z₂）_θ，则$\overrightarrow{a}$=（x₁-x₂）$\overrightarrow{i}$+（y₁-y₂）$\overrightarrow{j}$+（z₁-z₂）$\overrightarrow{k}$，
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（{x}_{1}-{x}_{2}，{y}_{1}-{y}_{2}，{z}_{1}{-z}_{2}）_{θ}$
④$\overrightarrow{OA}=（1，0，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow{OB}=（0，1，0）_{\frac{π}{3}}$，$\overrightarrow{OC}=（0，0，1）_{\frac{π}{3}}$已知，则三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，∴表面积为S=4×$4×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
故答案为：②③．

点评 本题主要考察了向量的相关概念，综合性较强，属于中档题．