Question

1．如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：
（1）EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）平面EFD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面平行的性质，可得EG∥BD，利用G为AD的中点，可得E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）证明AB⊥平面EFD，即可证明平面EFD⊥平面ABC．

解答 证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以EG∥BD，…（4分）
又G为AD的中点，
故E为AB的中点，
同理可得，F为AC的中点，
所以EF=$\frac{1}{2}$BC．…（7分）
（2）因为AD=BD，
由（1）知，E为AB的中点，
所以AB⊥DE，
又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE，EF?平面EFD，
所以AB⊥平面EFD，…（12分）
又AB?平面ABC，
故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）

点评 本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．