Question

13．设m＞1，在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+my取得最大值z（m）的实数对（x，y）=（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）；而当m变化时，z（m）的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上，由此判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的函数表达式，根据函数的单调性，求出m的范围．

解答 解：∵m＞1，由约束条件，作出可行域如图，

直线y=mx与直线x+y=1交于（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$），
目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）处取得最大值，
∴Z（m）=$\frac{1{+m}^{2}}{1+m}$，则z′（m）=$\frac{{（m+1）}^{2}-2}{{（m+1）}^{2}}$，
∵m＞1，∴z′（m）＞0，
∴函数z（m）在（1，+∞）上单调递增，
∴z（m）_最小值＞z（1）=1，
故答案为：（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$），（1，+∞）．

点评 题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）点取得最大值，并由此列出关于m的函数表达式是解答本题的关键，是中档题．