Question

18．能够把椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（　　）

• A． f（x）=4x³+x
• B． f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$
• C． f（x）=sin$\frac{x}{2}$
• D． f（x）=e^x+e^-x

Answer 1

分析 关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．

解答 解：∵f（x）=4x³+x是奇函数，
∴f（x）=4x³+x的图象关于原点对称，
∴f（x）=4x³+x是椭圆的“可分函数”；
∵f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$是奇函数，
∴f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$的图象关于原点对称，
∴f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$是椭圆的“可分函数”；
∵f（x）=sin$\frac{x}{2}$是奇函数，
∴f（x）=sin$\frac{x}{2}$的图象关于原点对称，
∴f（x）=sin$\frac{x}{2}$是椭圆的“可分函数”；
∵f（x）=e^x+e^-x不是奇函数，
∴f（x）=e^x+e^-x的图象关于原点不对称，
∴f（x）=e^x+e^-x不是椭圆的“可分函数”．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．