Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式结合正弦定理化简求出tanB的值，即可确定出角B的值；
（Ⅱ）由b与sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，代入a+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出a+c的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理及已知等式得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\sqrt{3}$cosB=sinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B为三角形内角，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=3，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+c=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=6sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴3＜a+c≤6，
当且仅当A=$\frac{π}{3}$时，等号成立，
则a+c的范围为（3，6]．

点评 此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．