Question

16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE．
（2）点M是线段EF上任意一点，求三棱锥B-ACM的体积．

Answer 1

分析 （1）先求得AB，利用勾股定理判断出BC⊥AC，利用线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面ACFE．
（2）先求得△ACM的面积，进而利用体积公式求得答案．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=D=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）∵四边形ACFE为矩形，
∴S_△ACM=$\frac{1}{2}$AC•FC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵BC⊥平面ACFE．
∴V_B-ACM=$\frac{1}{3}$S_△ACM×BC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用．考查了学生的空间观察能力和计算能力．