Question

5．函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（-1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值是2031120．

Answer 1

分析 从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．

解答 解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x），
∴当x=0时f（0）=0，
∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f（-1）=1，
∴f（1）=f（-1）=1．
∵xf（x+1）=（x+1）f（x），
∴$f（x+1）=\frac{x+1}{x}f（x）$
当x=1时f（2）=2，
当x=2时f（3）=3，
当x=3时f（4）=4，
…

当x=2014时f（2015）=2015
则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0+1+2+3+4+5+…+2015=2031120
∴故答案为：2031120

点评 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．