Question

20．设x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$目标函数z=2x+y的最大值是14，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5．

Answer 1

分析 ①作出不等式对应的平面区域，①由z=2x+y得：y=-2x+z，显然y=-2x+z过A点时，z最大，将A（4，6）代入求出即可；
②利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式的性质求出$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值即可．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：

①由z=2x+y得：y=-2x+z，
显然y=-2x+z过A点时，z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6），
∴z_最大值=2×4+6=14，
②∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，即$\frac{2a}{5}$+$\frac{3b}{5}$=1，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）（$\frac{2a}{5}$+$\frac{3b}{5}$）=$\frac{4}{5}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{6b}{5a}$+$\frac{6a}{5b}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{6b}{5a}•\frac{6a}{5b}}$=$\frac{13}{5}$+$\frac{12}{5}$=5，
当且仅当$\frac{6b}{5a}$=$\frac{6a}{5b}$，即a=b=1时，取等号，
故$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5，
故答案为：14，5．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．